Ο γρίφος του Gamow

Το κυνήγι του θησαυρού

Τo σκίτσο είναι του George Gamow από το βιβλίο "one two three ... infinity"

Το βιβλίο του George Gamow “One, Two, Three,…, Infinity”, παρόλο που κυκλοφόρησε το 1947, εξακολουθεί να είναι ένα από τα καλύτερα βιβλία του είδους – ίσως το καλύτερο. Ο Gamow , ως φυσικός, υιοθετεί μια χρησιμοθηρική προσέγγιση στα μαθηματικά, η οποία προσιδιάζει πιο πολύ στη νοοτροπία του μηχανικού παρά του μαθηματικού. Στο τμήμα όπου ασχολείται με τους μιγαδικούς αριθμούς, έχει επινοήσει ένα γοητευτικό πρόβλημα για να αναδείξει τη σύνδεση της μονάδας των φανταστικών αριθμών i, με τη στροφή. Το πρόβλημα παρουσιάζεται μέσα από την ιστορία ενός «νεαρού και ριψοκίνδυνου άνδρα», ο οποίος ανακαλύπτει μια περγαμηνή στα χαρτιά που του άφησε πεθαίνοντας ο παππούς του. Εκεί διαβάζει:

«Ταξιδεύοντας σε βόρειο πλάτος ........... και δυτικό μήκος ........ θα ανακαλύψεις ένα έρημο νησί. Στη βόρεια όχθη του νησιού βρίσκεται ένα τεράστιο αφύλακτο λιβάδι και μέσα υψώνεται μια μοναχική βελανιδιά και ένα μοναχικό πεύκο. Εκεί θα δεις και μια πολυκαιρισμένη αγχόνη που τη χρησιμοποιούσαμε παλιά για να κρεμάμε τους προδότες. Ξεκίνα από την αγχόνη και περπάτα προς τη βελανιδιά μετρώντας τα βήματά σου. Στη βελανιδιά στρίψε δεξιά σχηματίζοντας ορθή γωνία και περπάτησε τον ίδιο αριθμό βημάτων. Κάρφωσε έναν πάσσαλο στο σημείο που θα φτάσεις. Τώρα πρέπει να γυρίσεις πίσω στην αγχόνη και να περπατήσεις προς το πεύκο, μετρώντας πάλι τα βήματά σου. Στο πεύκο στρίψε αριστερά σχηματίζοντας ορθή γωνία και φρόντισε να περπατήσεις ίδιο αριθμό βημάτων. Μόλις φτάσεις, κάρφωσε έναν δεύτερο πάσσαλο. Σκάψε στα μισά του δρόμου ανάμεσα στους δυο πασσάλους. Ο θησαυρός βρίσκεται εκεί.»

Το παραπάνω σχήμα αναπαριστά όλα όσα περιγράφονται στο κείμενο. Σε αυτές τις ευφάνταστες οδηγίες, ο Gamow προσθέτει και δυο αστείες υποσημειώσεις. Στη μια μας ενημερώνει ότι έχει, φυσικά, παραλείψει τις ακριβείς τιμές του γεωγραφικού μήκους και πλάτους για να μας εμποδίσει να παρατήσουμε το βιβλίο του και να τρέξουμε για να ξεθάψουμε το θησαυρό, και στην άλλη μας πληροφορεί ότι γνωρίζει πολύ καλά ότι βελανιδιές και πεύκα δεν φυτρώνουν σε έρημα νησιά, αλλά έχει αποκρύψει το πραγματικό είδος των δένδρων και πάλι για να διαφυλάξει τη μυστικότητα του πραγματικού νησιού. Θα ήθελα να είχα συναντήσει τον Gamow σε κάποιο πάρτι. Είμαι σίγουρος ότι θα ήταν πολύ διασκεδαστικός.
Ο νεαρός ακολουθώντας τις οδηγίες, εντοπίζει το νησί με τη βελανιδιά και το πεύκο. Αλίμονο, όμως δεν υπάρχει αγχόνη! Σε αντίθεση με τα αιωνόβια δέντρα, η αγχόνη έχει καταστραφεί από τα καιρικά φαινόμενα και δεν έχει απομείνει κανένα ίχνος της ή κάτι που να μαρτυρά τη θέση της. Καθώς αδυνατεί να συνεχίσει τις οδηγίες (ή τουλάχιστον έτσι πιστεύει), ο νεαρός εγκαταλείπει το νησί χωρίς το παραμικρό φλουρί ή διαμαντένιο περιδέραιο ως παρηγοριά για τον χαμένο κόπο του. Τι κρίμα! Διότι, όπως παρατηρεί ο Gamow, αν γνώριζε τους μιγαδικούς αριθμούς, θα μπορούσε να βρει το θησαυρό.....
... η λύση του γρίφου ....

Η λύση που ακολουθεί βασίζεται στο γεγονός ότι ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού αριθμού (x+iy) με την φανταστική μονάδα i, δημιουργεί έναν νέο μιγαδικό αριθμό, τον (-y+ix), του οποίου το διάνυσμα θέσης προκύπτει από την στροφή κατά 90o προς τα αριστερά του διανύσματος θέσης του αρχικού μιγαδικού αριθμού.
Αντίστοιχα ο πολλαπλασιασμός με (-i) προκαλεί στροφή 90o προς τα δεξιά.
Μπορείτε να το αποδείξετε;
(Η απόδειξη γίνεται πολύ εύκολη αν χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις:

e^iπ/2=i και ότι x+iy = ρe^iθ

με

 ρ=(x² + y²)^1/2

και

tanθ=y/x)

Επιστροφή στον γρίφο και στο σχήμα που βρίσκεται στην αρχή της ανάρτησης.

Θεωρούμε ότι το πεύκο βρίσκεται στο σημείο (+1,0) και η βελανιδιά στο σημείο (-1,0), στον άξονα των πραγματικών αριθμών.
Έστω ότι η αγχόνη βρίσκεται στο σημείο (α,β) που αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό (α+iβ), όπου τα α και β είναι άγνωστα.
Ας φανταστούμε μια παράλληλη μετατόπιση του άξονα των φανταστικών αριθμών προς τα αριστερά, έτσι ώστε, ότι η αρχή των αξόνων να βρίσκεται στην βελανιδιά. Τότε το σημείο στο οποίο βρίσκεται αγχόνη αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό

(α+1) + iβ.

Για να εντοπίσουμε τη θέση του πρώτου πασσάλου (Π1) χρειαζόμαστε μια στροφή του τελευταίου μιγαδικού κατά 90o αριστερά ... τον πολλαπλασιάζουμε δηλαδή με i και παίρνουμε

-β+(α+1)i

Συνεπώς η θέση του πρώτου πασσάλου (Π1) ως προς την κανονική αρχή των αξόνων αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό

z₁ = -β-1+(α+1)i.

Στη συνέχεια φανταζόμαστε μια δεύτερη παράλληλη μετατόπιση του άξονα των φανταστικών αριθμών προς τα δεξιά, έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να βρεθεί στο πεύκο. Τώρα το σημείο στο οποίο βρίσκεται η αγχόνη αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό

(α-1) + iβ.

Για να εντοπίσουμε τον δεύτερο πάσσαλο (Π2) χρειαζόμαστε μια στροφή αυτού του μιγαδικού αριθμού κατά 90oπρος τα δεξιά ... τον πολλαπλασιάζουμε συνεπώς με (-i) παίρνοντας

β-(α-1)i

και ως προς την κανονική αρχή των αξόνων η θέση του δευτέρου πασσάλου (Π2) αντιστοιχεί στον μιγαδικό

z₂ = (β+1)+(α-1)i.

Ο θησαυρός βρίσκεται στο μέσον της απόστασης των δυο πασσάλων δηλαδή στο σημείο που αντιστοιχεί στον μιγαδικό αριθμό

(z₁ + z₂)/2 = ....... = i

Βλέπουμε ότι η θέση του θησαυρού είναι ανεξάρτητη από τα α και β αφού στον τελικό υπολογισμό απλοποιούνται.
Ο θησαυρός βρίσκεται πάνω στον φανταστικό άξονα, σε απόσταση από την αρχή των αξόνων ίση με την απόσταση των δυο δένδρων από το Ο. Ποιος θα το φανταζόταν;

Πηγή: "Φανταστικές ιστορίες, οι περιπέτειες της τετραγωνικής ρίζας του μείον 1", του Paul J. Nahin, εκδόσεις κάτοπτρο.

ΣΟΥ ΑΡΕΣΕ;

KANE LIKE ΔΕΙΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΣΤΟ street2310.blogspot.com

Διαβάστε περισσότερα

Η μάσκα του Guy Fawkes

Τι συμβολίζει η μάσκα των Anonymous;

Δεν είναι λίγες οι φορές που συναντήσαμε να φιγουράρει στα μέσα ενημέρωσης, σε blogs κ.ά, η γνωστή στους περισσότερους πια μάσκα του “V for Vendetta”. 

Τις τελευταίες ημέρες δε, έχουν πυκνώσει οι εμφανίσεις της καθώς η διεθνής ομάδα χακτιβιστών Anonymous χρησιμοποιούν την εν λόγω μάσκα για τις δημόσιες εμφανίσεις τους. Λίγοι όμως γνωρίζουν τι συμβολίζει, ενώ ακόμη λιγότεροι γνωρίζουν την ιστορία της.

Τη μάσκα με το προσωπείο του Γκάι Φωκς την πρωτοσυναντήσαμε στις αρχές της δεκαετίας του 1980 στην Αγγλία, την εποχή δηλαδή του σκληρού συντηρητισμού της Μάργκαρετ Θάτσερ, όπου δύο νεαροί ο Άλαν Μουρ(συγγραφέας) και ο Ντέιβιντ Λόιντ (σχεδιαστής) εξέδωσαν μια εικονογραφημένη ιστορία –κόμικς- μέσω της οποίας βροντοφώναζαν την επαναστατική τους διάθεση.

Η υπόθεση διαδραματιζόταν στη Βρετανία του κοντινού μέλλοντος, όπου ένας φασιστικών προδιαγραφών δικτάτορας, εκμεταλλευόμενος τη δύναμη της τηλεόρασης και την τρομολαγνεία, έχει επιβάλει ένα καθεστώς φόβου και ανασφάλειας, ενώ ένας μυστηριώδης μασκοφόρος που αυτοαποκαλείται «V» προσπαθεί να καταλύσει το ολοκληρωτικό αυτό καθεστώς.Την επιτυχία του κόμικς «V for Vendetta» διαδέχτηκε μια εξίσου πετυχημένη ομότιτλη κινηματογραφική διασκευή το 2005 σε σκηνοθεσία Τζέιμς ΜακΤιγκ. 

Το «V for Vendetta» λοιπόν, βασίστηκε στο κόμικς, το οποίο είναι εμπνευσμένο από αληθινά γεγονότα. Ο πρωταγωνιστής της ταινίας Χιούγκο Γουίβινγκ υποδύεται έναν εκδικητή που φοράει διαρκώς μια μάσκα, που αναπαριστά το πρόσωπο του Βρετανού Γκάι Φωκς, ο οποίος στις 5 Νοεμβρίου του 1605 επιχείρησε να ανατινάξει το βρετανικό Κοινοβούλιο.Η ταινία διαθέτει σκοτεινή ατμόσφαιρα, δυνατές σκηνές δράσης αλλά και αξιοσημείωτες ερμηνείες από τη Νάταλι Πόρτμαν, τον Σίβεν Ρία, τον Τζον Χαρτ -στο ρόλο του οργουελικού δικτάτορα- και το γνωστό μας από το Matrix Χιούγκο Γουίβινγκ, που όπως αναφέραμε δεν βγάζει σε καμία σκηνή τη μάσκα του και ερμηνεύει το ρόλο του μόνο με τις κινήσεις και τη φωνή του. 

Αλλά ποιος ήταν πραγματικά ο Γκάι Φωκς;Ο Γκάι Φωκς (Guy Fawkes) γεννήθηκε στο Υόρκη το 1570. Ήταν Άγγλος στρατιώτης και μέλος μιας ομάδας καθολικών συνωμοτών, οι οποίοι οργάνωσαν τη Συνωμοσία της Πυρίτιδας στις 5 Νοεμβρίου 1605. 

Η Συνωμοσία είχε οργανωθεί ως αντίδραση στην τυραννική βασιλεία του Ιακώβου Α' και στα σκληρά μέτρα του προτεστάντη βασιλιά απέναντι στους καθολικούς και περιλάμβανε όχι μόνο την απόπειρα της δολοφονίας του, αλλά και της οικογένειάς του καθώς και των μελών της αριστοκρατίας,με την ανατίναξη του Παλατιού του Γουέστμινστερ, που στέγαζε το Βρετανικό Κοινοβούλιο. Η απόπειρα θα γινόταν στις 5 Νοεμβρίου 1605, ημέρα κατά την οποία ο βασιλιάς θα απευθυνόταν σε μια διευρυμένη συνέλευση της Βουλής των Λόρδων και της Βουλής των Κοινοτήτων. 

Οι συνωμότες βρήκαν ένα κελάρι κάτω από το κτίριο της Βουλής των Λόρδων και μέχρι το Μάρτιο του 1605, είχαν συγκεντρώσει 36 βαρέλια πυρίτιδας, τα οποία θα ανατίναζαν για να δολοφονήσουν τα μέλη του κοινοβουλίου. Κάποιοι συνωμότες, ωστόσο, ανησυχούσαν από το γεγονός ότι στο κτίριο της Βουλής θα βρίσκονταν κι άλλοι καθολικοί, σαν κι αυτούς, των οποίων η ζωή μπορεί να κινδύνευε. Έτσι στάλθηκε μια προειδοποιητική επιστολή στο Λόρδο Monteagle, οι υποψίες του οποίου συνετέλεσαν ώστε να ξεκινήσουν οι έρευνες στις υπόγειες σήραγγες κάτω από τη Βουλή των Λόρδων. 

Ο Γκάι Φωκς αποκαλύφθηκε και συνελήφθη το πρωινό της 5ης Νοεμβρίου. Μετά από βασανιστήρια, αποκάλυψε τα ονόματα των υπόλοιπων συνωμοτών, που είτε ήταν ήδη γνωστοί είτε νεκροί. Οι συνωμότες καταδικάστηκαν και στις 31 Ιανουαρίου εκτελέστηκαν με αγχόνη και διαμελισμό.

Σε ορισμένες χώρες η επέτειος αυτής της αποτυχημένης απόπειρας γιορτάζεται στις 5 Νοεμβρίου ως Νύχτα του Γκάι Φωκς (Guy Fawkes Night ή Bonfire Night). 

Η απόπειρα του Γκάι Φωκς ενέπνευσε πολλά στιχάκια εκείνης της εποχής, όπως το εξής:

Remember, remember, the fifth of November;
The Gunpowder treason and plot!
For I see no reason why the gunpowder treason
Should ever be forgot. 

Ξέρατε ότι: 

• Οι συνωμοσίες εναντίον της ζωής του Βασιλιά Ιάκωβου Α' αποτέλεσαν έμπνευση για το έργο "Μάκβεθ"Ουίλιαμ Σαίξπηρ. 

• Ο Τζον Λένον στο άλμπουμ του John Lennon/Plastic Ono Band του 1970 χρησιμοποιεί ως τελευταίο στίχο το "Remember, remember, the 5th of November" στο τραγούδι με τίτλο "Remember" και αμέσως μετά τους στίχους αυτούς ακούγεται μια έκρηξη.

• Η αγγλική λέξη "guy" προέκυψε από το όνομα του Γκάι Φωκς. Στην επέτειο της 5ης Νοεμβρίου, το έθιμο απαιτούσε το κάψιμο στην πυρά ενός ομοιώματος του Φωκς, γνωστό ως "guy", με αποτέλεσμα η λέξη να χρησιμοποιείται σαν όρος για "κάποιο πρόσωπο με αλλόκοτη και εκκεντρική εμφάνιση", σύμφωνα με το Oxford English Dictionary. Με τον καιρό, η λέξη χρησιμοποιούταν ως γενικότερη αναφορά σε κάποιον άνδρα, ενώ κατά τον 20ό αιώνα χρησιμοποιείται στον πληθυντικό για άτομα και των δυο φύλων.

Χριστίνα Φωτιάδη, in.gr Home Cinema

 http://tech.in.gr/analysis/article/?aid=1231148608

ΣΟΥ ΑΡΕΣΕ;

KANE LIKE ΔΕΙΤΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΣΤΟ street2310.blogspot.com

Διαβάστε περισσότερα